martedì 17 maggio 2016

L'ipotesi di Riemann: un mistero non ancora risolto

L'argomento che trattiamo oggi è un po' più complicato dei soliti, ma cercheremo di spiegarlo nel modo più semplice possibile!

Avete mai sentito parlare di "Ipotesi di Riemann"? E' un tema molto in voga tra i matematici, in particolare tra i teorici dei numeri.


Infatti questo è un problema aperto fin dalla seconda metà del 1800, e ancora oggi non si è trovata una dimostrazione! 
Fu presentato da Hilbert, matematico tedesco dei primi del '900, in una lista di 23 problemi irrisolti ad un Congresso Matematico Internazionale a Parigi dell'anno 1900. 22 dei 23 problemi di Hilbert sono stati risolti nel corso del '900 o sono stati ritenuti "indecidibili", ovvero impossibile decidere se siano risolvibili o no (matematicamente parlando); tutti tranne l'ipotesi di Riemann.
Questo problema è sopravvissuto ad ogni tentativo di soluzione da parte dei matematici per più di un secolo, ed è stato inserito nel 2000 nella lista dei 7 Problemi del millennio: una "sfida" proposta ai matematici di tutto il mondo dall'Istituto Matematico Clay. Dovete sapere che il Clay ha messo in palio un milione di dollari per la risoluzione di ognuno dei 7 problemi!
Solo uno di questi è stato dimostrato e il matematico russo che è riuscito nell'impresa ha rifiutato la medaglia Field (il più grande riconoscimento per un matematico, un po' come il Nobel, che per la matematica non esiste) e anche il premio Clay! Dobbiamo dire che i matematici sono persone strane, ma probabilmente risolvere problemi di una certa difficoltà è visto come sfida personale, svago e progresso della matematica, più che per i riconoscimenti in denaro!

Torniamo all'ipotesi di Riemann. Questa è stata formulata per la prima volta da Riemann in un breve articolo sui numeri primi del 1859. Dovete sapere infatti che l'importanza di questo problema sta nel suo collegamento coi numeri primi (abbiamo spiegato qui cosa sono).
Per molti secoli (sin dai tempi di Euclide!) i matematici di ogni epoca hanno cercato di dare un senso a questi numeri: in particolare si cerca un modo per descrivere la loro distribuzione all'interno dell'insieme dei numeri naturali.
Vediamo in cosa consiste questa ricerca...
I numeri primi sono tutti dispari, ma non tutti i dispari sono primi (9 non è primo), quindi il fatto che siano dispari non caratterizza questo insieme di numeri. Ma allora qual è la caratterizzazione giusta? C'è un modo, una formula, per esprimere tutti e soli i numeri primi?
Proprio questa è la domanda senza riposta che si fa la matematica. Possibile che dei numeri naturali, così semplici non possano essere descritti da una formula? Se pensiamo che abbiamo descritto tramite formule matematiche ogni cosa: l'orbita dei pianeti, i flare solari, i moti, le onde, la luce...capite che è quasi assurdo credere che non si sappia descrivere tramite la matematica un'entità che di per sé è già matematica! Sono semplici numeri! Eppure è così...

Ma cosa c'entra in tutto questo discorso l'ipotesi di Riemann? Ebbene, se venisse dimostrata vera questa famosa ipotesi, si scoprirebbe una regolarità nella distribuzione dei numeri primi, il che darebbe una risposta a tutte le domande che ci siamo posti e renderebbe possibile trovare una funzione che calcoli tutti e soli i numeri primi.
Riemann partì da una certa funzione, che chiamò funzione zeta $\zeta$ di variabile complessa $s$, definita in questo modo: $$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}}$$
Per l'identità di Eulero, questa funzione è strettamente collegata ai numeri primi:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}}=\prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}$$
dove $p$ viaggia sui primi.

L'ipotesi di Riemann dice che tutti gli zeri della funzione $\zeta(s)$ stanno su una retta particolare: la retta dei punti di parte reale $\frac{1}{2}$.
Se questa ipotesi venisse dimostrata significherebbe che è presente una regolarità nella distribuzione degli zeri della funzione $\zeta(s)$, che non stanno più quindi sparsi nel piano complesso, ma si troverebbero tutti sull'asse $\frac{1}{2}$. Capite quindi che grazie al suo legame coi primi si avrebbe anche una regolarità nella distribuzione di questi ultimi.

Che dite? Ci mettiamo d'impegno e vinciamo il premio Clay? Risolviamo il mistero dei numeri primi?

In realtà è tutto un po' più complicato di così e trattare questi argomenti richiede alcune basi di analisi complessa, ma avremmo bisogno di ben più di un post per questo! Per il momento cerchiamo solo di farvi incuriosire all'argomento...e se vi siete incuriositi abbastanza potete scriverci (nei commenti o per posta) e saremo contentissimi di dirvi di più o suggerirvi diversi libri semplici e piacevoli (o anche complicati e belli tosti, scegliete voi)! :)

Alla prossima!

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