sabato 14 maggio 2016

Il "Problema di Basilea", ovvero dimostrazione di $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}$

Oggi inauguriamo una nuova sezione del nostro blog, quella sulla matematica "dimostrativa".

Vogliamo infatti dimostrare come $$ \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}$$ esattamente come Eulero la dimostrò nel 1735, anche se non proprio in maniera rigorosissima.



Questo problema, cioè "quanto fa la somma degli inversi dei quadrati dei numeri naturali?" è noto come "Il Problema di Basilea", e venne formulato la prima volta nel 1644 da Pietro Mengoli (matematico italiano del 1626 ... mai sentito parlare della "serie di Mengoli"?).

Ogni volta che guardavamo questa espressione matematica, ci chiedevamo "ma come fa una somma di razionali a fare quel numeraccio che è $\dfrac{\pi^2}{6}$ ?? Perchè $\pi$? Perché $\pi^2$? E perchè mai $\frac{1}{6}$? Da dove salta fuori quel 6?? ". Oggi sappiamo il perchè!

Come per preparare una torta ci occorrono degli ingredienti:
  • Conoscere lo sviluppo in serie di Taylor della funzione $\sin x$
  • Le formule di Viète per i polinomi
... e basta! Con solo questi due strumenti in mano Eulero si cimentò della dimostrazione del Problema di Basilea. Seguiamolo anche noi!

Osservò per prima cosa che $\dfrac{\sin(x)}{x}=1-\dfrac{x^2}{3!}+\dfrac{x^4}{5!}-\dfrac{x^6}{7!}...$ . Considerando solo la parte del polinomio, sappiamo che questo ha radici per qualsiasi valore tale che azzeri il $\sin(x)$, quindi le radici saranno: $\pi,2\pi,3\pi,4\pi ... $. Facciamo una piccola sostituzione usando $z=x^2$. L'equazione di prima diventa quindi:$$\dfrac{\sin(\sqrt{z})}{\sqrt{z}}=1-\dfrac{z}{3!}+\dfrac{z^2}{5!}-\dfrac{z^3}{7!}+ ... $$ con radici $\pi^2,4\pi^2,9\pi^2...$

Adesso intervengono le formule di Viète! Anche se purtroppo non possiamo applicarle ad un polinomio a infiniti coefficienti senza una valida dimostrazione, Eulero suppose già che "sarebbero potute andar bene anche all'infinito!" e quindi ...se ce lo dice Eulero ... perché non usarle?
In particolare ci interessa la proprietà seguente
"Sia $P(x)=a_{0} + a_{1}x+a_{2}x^2+a_{3}+x^3+ ... + a_{n}x^n$ un polinomio di grado n. La somma degli inversi delle radici del polinomio è uguale al rapporto $-\dfrac{a_{0}}{a_{1}}$".

Questo, nel nostro polinomio, si applica in maniera molto amichevole in quando il nostro $a_{0}$ è uguale a 1. Estendendo questa proprietà dei polinomi di grado n "diverso da $\pm \infty$" anche ai polinomi a infiniti coefficienti, troviamo quindi che: $$\dfrac{1}{3!}=\dfrac{1}{\pi^2}+\dfrac{1}{4\pi^2}+\dfrac{1}{9\pi^2}+...$$ Ci siamo quasi vero? Ormai siamo alla fine, non resta che una piccola moltiplicazione per $\pi^2$ da ambo i lati dell'equazione per ottenere ciò da cui siamo partiti.
Ecco la formulazione completa: $$\dfrac{\pi^2}{3!}=1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{16}$$ Ossia: $$\dfrac{\pi^2}{6}=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$$
... les jeux sont faits! Semplice ed intuitivo, no? Bastava solo ricordarsi dello sviluppo del seno, accorgersi che sostituendo la variabile $z=x^2$ si otteneva un polinomio ad infiniti coefficienti che secondo le formule di Viète aveva la somma degli inversi delle radici uguali a ... Okay, forse non tanto semplice!! In fondo sono passati solo 100 anni dalla formulazione del problema e la sua risoluzione!

... Sempre meglio che per la "Ipotesi di Riemann" !!


Vogliamo adesso provarci anche noi, utilizzando però la funzione $cos(x)$! Ne vedremo delle belle...

Riprendiamo lo sviluppo del seno e "deriviamolo" per ottenere quello del coseno, in sintesi abbiamo che: $$cos(x)=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}-...$$. Adesso bisogna applicare la sostituzione $ z=x^2 $ per ottenere un polinomio con tutti i coefficienti ordinati da 1 a +$\infty$, quindi otteniamo: $$cos(\sqrt{z})=1-\dfrac{z}{2!}+\dfrac{z^2}{4!}-\dfrac{z^3}{6!} ... $$ .. e così via. Tutte le radici di cos(x) sono dove la $x=\dfrac{\pi}{2}$ e $x=\dfrac{3\pi}{2}$ contanti i loro rispettivi multipli, quindi abbiamo tutte le radici in $x=\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2},\dfrac{5\pi}{2},\dfrac{7\pi}{2}...$, che per la variabile $z$ si traducono in:
$z=\dfrac{\pi^2}{4},\dfrac{9\pi^2}{4},\dfrac{25\pi^2}{4},\dfrac{49\pi^2}{4}, ecc...$

Avrete ormai capito il funzionamento, prendiamo il coefficienti del termine di primo grado dello sviluppo del coseno nella variabile z (equivale a $\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}$ ) e andiamo ad usare le formule di Viète! Esse ci dicono che: $$\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{\pi^2}(1+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{25}+\dfrac{1}{49} ... \dfrac{1}{(2n-1)^2}$$

Da questo possiamo dedurre che:
$$\dfrac{\pi^2}{8}=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2n-1)^2}$$

Ed ecco dimostrato un altro risultato sulle somme a termini infiniti dei reciproci di alcuni naturali, in particolare questa volta dei soli dispari!

Se non vi sono chiari alcuni passaggi, commentate qui sotto e vedremo come aiutarvi!!

Ci si vede!!

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