giovedì 24 luglio 2014

Continuità di Funzioni

Dopo aver introdotto la nozione di funzione qui, non ci resta che proseguire con l'analisi e lo studio di funzione.



Riprendiamo un attimo la rappresentazione grafica delle funzioni, esse sono esprimibili tramite un grafico nel piano cartesiano dove sull'asse delle x ci sono gli elementi del Dominio, e sull'asse y gli elementi del codominio. I tratti disegnati dalla funzione non saranno altro che le immagini secondo la legge di f degli oggetti presenti nel Dominio. Un esempio di grafico di funzione potrebbe essere il seguente:

Dove si incontrano l'asse x (l'asse orizzontale) e l'asse y (quello verticale) è chiamato Origine degli assi, da li in avanti si incomincia a contare le unità di misura relative al sistema metrico scelto da sinistra verso destra per le X e dal basso verso l'alto per le Y, quindi, per esempio, dove la retta blu interseca l'asse delle x a destra dell'origine, quel punto avrà coordinata x positiva e y nulla, mentre dove la retta interseca le y al di sotto dell'origine, quel punto invece avrà coordinata y negativa e x nulla.

Questo grafico di funzione invece è definito solo a sinistra dell'origine, quindi ammette x solo negative, mentre le y possono essere sia positive che negative, in quanto il grafico della funzione sta sia al di sopra sia al di sotto dell'asse delle x. Sembra che il grafico a un certo punto tocchi l'asse y nelle y negative, ma è un difetto di visualizzazione in quanto la funzione non toccherà mai tale punto in quanto non appartiene al suo dominio, ma ci andrà sempre più vicina, sempre più vicina fino a sfiorarlo ma non a toccarlo, e andrà sempre più verso l'infinito negativo delle y. In questo caso si dice che la funzione non è definita nel punto di coordinata $x=0$. Sia quindi $F$ la nostra funzione che ha un grafico uguale a quello rappresentato, allora non si potrà mai scrivere $F(0)$ poiché il suo Dominio è $\mathbb{R^{-}}-\{0\}$, ossia tutti i numeri reali negativi tolti dello 0.

Qui la funzione si è sdoppiata nel suo Dominio, infatti ora sono tutti i numeri reali, tutto $\mathbb{R}$ mancante solo del punto $x=0$, quindi il dominio è $\mathbb{R}-\{0\}$.

Le funzioni si presentano in due modi, continue e non continue. Le funzioni continue sono come quelle che abbiamo visto finora, per fare un esempio di funzione discontinua si prenda F tale che:
$F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tale che:
$$F(x)= \begin{cases}x &\mbox{se } x\neq4\\ 10 & \mbox{se } x=4\end{cases}$$

Allora la funzione diventa:

Nel punto di coordinata $x=4$ la funzione presenta una discontinuità in quanto l'immagine dell'elemento 4 non è consequenziale alle altre immagini disposte tutte in fila per così dire! ma appunto il grafico deve "saltare" fino al punto di coordinata $y=10$ per trovare l'immagine di 4, per poi tornare alla "normalità" con le altre immagini.
Funzioni che hanno simili grafici vengono dette discontinue.

In termini matematici, la continuità si esprime in questi termini:

$$\forall q>0, \mbox{ } \exists w>0 \mbox{ tale che } |x-x_{0}| < w \implies |f(x)-f(x_{0})| < q$$

che si legge:

"Per ogni q>0, esiste w>0 tale che se il valore assoluto della differenza tra $x$ e $x_{0}$ è minore di w, allora questo fatto implica che la differenza in modulo della quantità $f(x)$ e $f(x_{0})$ è minore di q"


Significa che preso un q positivo, la distanza tra le due immagini in valore assoluto (quindi calcoliamo soltanto la distanza effettiva delle due immagini) è minore di q, e gli elementi le cui immagini sono così vicine ($x$ e $x_0$) non distano troppo lontani l'uno dall'altro.
Esempio: $f(x)=2x$.
Vogliamo vedere se $f(x)=2x$ è continua nel punto $x_0=5$. Allora seguendo la definizione di continuità, si ottiene:

$|x-x_0| < w \implies |f(x)-f(x_0)| < q \\
|x-5| < w \implies |f(x)-f(5)| < q$

E ora:

$|f(x) - f(5)| < q \implies |2x-10| < q \implies  -q+10 < 2x < q+10 \implies \\ \frac{-q+10}{2} < x < \frac{q+10}{2} \implies  \frac{-q}{2}+5 < x < \frac{q}{2}+5 \implies \frac{-q}{2} < x-5 < \frac{q}{2} \implies \\ |x-5| < \frac{q}{2}$

Per l'arbitrarietà di $q$, preso $w=\frac{q}{2}$ la condizione $|x-x_0| < w$ è soddisfatta per qualsiasi $q>0$ (come da ipotesi). In conclusione: $f(x)$ è continua nel punto $x_0=5$.

Per fare un esempio in negativo, se si prende la funzione discontinua $f$ di prima e proviamo a verificare la sua continuità nel punto $x_0=4$, possiamo procedere nel seguente modo:

$|x-x_0| < w \implies |f(x)-f(x_0)| < q \implies |x-4| < w \implies |x-10| < q$

Per l'arbitrarietà di $q$, possiamo porlo uguale a 1, di modo che si ottiene:

$|f(x)-f(x_0)| = |x-10| < 1$ , quindi: $9 < x < 11$.

Se $x=9$ allora $|x-4| < w$ diventa $|9-4| < w$, quindi $w$ deve essere maggiore di 5.

Se$x=11$ allora $|x-4| < w$ diventa $|11 - 4| < w$ e quindi $w$ deve essere maggiore di 7.

Prendiamo un $w$ che ci vada bene in qualsiasi modo, per esempio $w=10$. Allora:

$|x-x_0| < 10 \implies |f(x)-f(x_0)| < 1 \implies \\ |x-4| < 10 \implies |x-10| < 1$

Ma ciò è impossibile!

Infatti se prendessimo $x=5$, allora la prima condizione è soddisfatta, infatti:
$|x-4| = |5-4|= |1|=1 < 10$ è vera, giusto? Ma la seconda no! infatti otteniamo che:
$|f(x) - 10| = |5-10| = |-5| = 5 < 1$ che è impossibile! Abbiamo quindi trovato un controesempio per la definizione di continuità, e per tanto la funzione $f(x)$ NON è continua in $x_0=4$.

Per adesso, meglio fermarsi, ma la storia non è ancora finita...

(Se vi volete divertire, su questo sito vi potete divertire a vedere il grafico di qualsiasi funzione vi venga in mente! Buone funzioni a tutti!!)

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